正答4
解説
正解は4です。
格子状の道を右と上だけに進む最短経路の数を、組合せで数える問題です。
図では、点Pは左下の角、点Qは右上の角にあり、格子は横5区画・縦4区画です。
点Rは、Pから右へ2区画、上へ2区画進んだ交点にあります。
Rを必ず通るので、PからRまでとRからQまでの経路数を掛け合わせます。
【計算】
PからRまでは右2回・上2回の計4回の移動で、並べ方は4C2＝6通りです。
RからQまでは右3回・上2回の計5回の移動で、並べ方は5C2＝10通りです。
Rを通る最短経路は6×10＝60通りです。
【選択肢別解説】
1：× 16通りは、6＋10と二つの区間の経路数を足した値です。
区間は続けて通るので、和ではなく積の60通りになります。
2：× 24通りは正しい計算からは得られません。
RからQまでは右3回・上2回なので10通りあり、全体は60通りです。
3：× 32通りも計算結果と一致しません。
最短経路の数は移動の並べ方の数なので、4C2と5C2の積で求めます。
4：○ PからRの6通りとRからQの10通りの積で、60通りになります。
【ポイント】
右m回・上n回の最短経路の数は、(m＋n)Cmで求められます。
「必ず通る点」があるときは、そこで区間を分けて掛け算するのが定石です。