図のように3個の装置を並列と直列に組み合わせて構成したシステムがある。
装置単体の稼働率と，システムの稼働率の関係を示したグラフはどれか。
ここで，3個の装置の稼働率は，全て等しいものとする。
正答4
解説
正解は4です。
図のシステムは、2台の装置を並列につないだ部分と、1台の装置を直列につないだ構成です。
装置単体の稼働率をpとしてシステム稼働率を式で表し、グラフの形と照らし合わせます。
【計算】
2台並列部分の稼働率は、1−(1−p)^2＝2p−p^2です。
これに直列の1台を掛けると、システム稼働率はp×(2p−p^2)＝2p^2−p^3です。
p＝0.5を代入すると、0.25−0.125＝0.375です。
システム稼働率からpを引くと、2p^2−p^3−p＝−p(1−p)^2となり、0＜p＜1では常に負です。
したがって、曲線は両端の0と1だけで対角線と一致し、その間では常に対角線より下にあります。
【選択肢別解説】
1：× 図のアは、曲線が対角線より常に上にあるグラフです。
これは2台並列だけの構成（2p−p^2）の形で、直列の装置がある本問の構成では稼働率が単体より高くなることはありません。
2：× 図のイは、対角線そのものの直線です。
システム稼働率が単体の稼働率と常に等しい、装置1台だけの構成に当たります。
3：× 図のウは、p＝0.5で対角線と交わり、それより小さいと下、大きいと上になるS字形の曲線です。
p＝0.5でシステム稼働率も0.5になる構成（3台中2台以上が動けばよい構成など）の形で、本問の0.375とは合いません。
4：○ 図のエは、両端を除いて曲線が常に対角線より下にあり、p＝0.5での値が0.5より小さいグラフです。
2p^2−p^3がp＝0.5で0.375になり、常に単体の稼働率を下回るという計算結果と一致します。
【ポイント】
並列にすると稼働率は上がり、直列にすると下がります。
グラフを選ぶ問題では、p＝0.5などの代表値を代入し、対角線より上か下かを確かめると判別しやすくなります。