稼働率がxである装置を四つ組み合わせて，図のようなシステムを作ったときの稼働率をf(x)とする。
区間0≦x≦1におけるy=f(x)の傾向を表すグラフはどれか。
ここで，破線はy=xのグラフである。
正答4
解説
正解は4です。
図のシステムは、稼働率xの装置2台を直列にした組を、2組並列に接続した構成です。
選択肢の4つのグラフは、曲線と破線y＝xの位置関係が異なります。
1のグラフは常に破線より上、2は常に下、3は前半が上で後半が下、4は前半が下で後半が上を通ります。
【計算】
直列2台の稼働率はx×x＝x^2です。
これを2組並列にすると、f(x)＝1－(1－x^2)^2＝2x^2－x^4です。
f(x)とxが等しくなる点を求めると、2x^2－x^4＝xです。
x≠0として整理すると、x^3－2x＋1＝0、つまり(x－1)(x^2＋x－1)＝0です。
0＜x＜1の解は、x＝(－1＋√5)÷2≒0.62です。
x＝0.5のとき、f(0.5)＝0.5－0.0625＝0.4375で、0.5より小さくなります。
x＝0.8のとき、f(0.8)＝1.28－0.4096＝0.8704で、0.8より大きくなります。
【選択肢別解説】
1：× 曲線が常に破線より上にあるグラフです。
これは装置を並列にしたときのような傾向です。
本問のf(x)はx＝0.5でxより小さくなるので当てはまりません。
2：× 曲線が常に破線より下にあるグラフです。
これは装置を直列にしたときのような傾向です。
本問のf(x)はx＝0.8でxより大きくなるので当てはまりません。
3：× 前半は破線より上、後半は破線より下を通るグラフです。
本問のf(x)とは上下関係が逆なので誤りです。
4：○ x≒0.62より小さい範囲では破線の下、大きい範囲では破線の上を通るS字形のグラフです。
計算結果と一致します。
【ポイント】
直列を含む構成は、稼働率が低いときに不利、高いときに冗長化の効果が大きくなります。
具体的な値を代入してy＝xと比べると、グラフ問題を素早く判定できます。