正答4
解説
正解は4です。
正の整数Nの桁数は、その基数での対数でおおよそ表せます。
10進の桁数はD≒log10 N、2進の桁数はB≒log2 Nです。
この2式からNを消去して、DとBの関係を導きます。
【計算】
2進でB桁の数は、およそN≒2^Bと表せます。
両辺の常用対数をとると、log10 N≒B log10 2です。
左辺のlog10 NはDに等しいので、D≒B log10 2となります。
log10 2≒0.301なので、10進の桁数は2進の桁数の約0.3倍です。
【選択肢別解説】
1：× D≒2 log10 Bは、桁数Bそのものの対数をとっているので誤りです。
桁数どうしは対数ではなく比例の関係にあり、正しくはD≒B log10 2です。
2：× D≒10 log2 Bも、Bの対数をとっている点が誤りです。
この式ではBが大きくなってもDがほとんど増えず、実際の桁数の増え方と合いません。
3：× D≒B log2 10は、係数が逆数になっています。
log2 10≒3.32なので、10進の桁数が2進の桁数より多くなってしまい誤りです。
4：○ N≒2^Bの常用対数をとると、D≒B log10 2が得られます。
これは、2進の桁数Bが10増えるごとに10進の桁数Dが約3増えることを表します。
【ポイント】
2^10＝1024≒10^3なので、2進の10桁が10進のほぼ3桁に相当します。
この関係を覚えておくと、log10 2≒0.3を使う問題をすばやく検算できます。