正答1
解説
正解は1です。
二項定理を使うと、(1+α)^nは 1＋n×α＋{n(n−1)/2}×α^2＋… と展開できます。
1＋n×αで近似できるのは、α^2以降の項が無視できるほど小さいときです。
【選択肢別解説】
1：○ |α|が1に比べて非常に小さければ、α^2やα^3は|α|よりはるかに小さくなります。
そのため、2次以降の項を無視でき、1＋n×αで近似できます。
2：× |α|がnより非常に大きい場合は、α^2以降の項がむしろ大きくなります。
近似の条件は、αが大きいことではなく小さいことです。
3：× |α÷n|が1より大きいとき、αはnより大きな値になります。
この場合も2次以降の項は無視できず、近似は成り立ちません。
4：× |n×α|が1より大きいと、2次の項 n(n−1)/2×α^2 も1次の項と同程度以上になり得ます。
近似には、むしろ|n×α|も小さいことが望まれます。
【ポイント】
「1＋x の累乗は、xが十分小さいとき 1＋n×x で近似できる」という一次近似は、利率や誤差の計算で頻出です。
例えば (1.01)^3 は 1.030301 で、1＋3×0.01＝1.03 とほぼ一致します。