正答3
解説
正解は3です。
ベン図の網掛け部分を、領域ごとに分けて集合式で表せるかを問う問題です。
図では、AとBが重なる部分がCとの重なりの有無にかかわらず塗られています。
さらに、Cのうち、AにもBにも含まれない部分が塗られています。
CとAだけが重なる部分、CとBだけが重なる部分は白いままです。
したがって網掛けは「A∩B」と「AにもBにも属さないCの部分」の和集合です。
【選択肢別解説】
1：× (A∪B)∩Cは、Cのうち、AかBに含まれる部分を表します。
網掛けのCの部分はAにもBにも属さない領域なので、ちょうど逆の領域になります。
2：× (A∪B)∩C̅は、AかBに含まれ、Cに含まれない部分を表します。
AだけやBだけの部分まで含み、Cの下側の網掛けを含まないので誤りです。
3：○ A∪Bの補集合とCの積集合は、AにもBにも属さないCの部分です。
これにA∩Bを加えた和集合は、図の網掛けと完全に一致します。
4：× この式は、(A̅∩B̅)∩C全体の補集合です。
(A̅∩B̅)∩Cは、AにもBにも属さないCの部分、つまり網掛けの下側の領域です。
その補集合は、この領域以外のすべてなので、どの円にも属さない外側やAだけの部分まで含みます。
ド・モルガンの法則で書き換えるとA∪B∪C̅となり、網掛けとは一致しません。
【ポイント】
ベン図の問題は、図を最大8つの小領域に分け、塗られている領域を一つずつ確かめます。
補集合を含む式は、ド・モルガンの法則で(A∪B)の補集合をA̅∩B̅のように書き換えると判断しやすくなります。
上線がどこからどこまで掛かっているかで式の意味が変わるので、範囲を必ず確認します。