T商店では毎日KとLという菓子を作り，これを組み合わせて箱詰めした商品MとNを販売している。
箱詰めの組合せと1商品当たりの利益は表に示すとおりである。
Kの1日の最大製造能力は360個であり，Lの1日の最大製造能力は240個である。
1日の販売利益を最大にするように，商品MとNを製造し，すべて販売したときの利益は何円か。
｜K（個）｜L（個）｜販売利益（円）／商品M｜6｜2｜600／商品N｜3｜4｜400
正答3
解説
正解は3です。
この問題は、製造能力の制約の下で利益を最大にする線形計画法の問題です。
商品Mをx個、商品Nをy個作るとして、制約条件と利益の式を立てます。
【計算】
菓子Kの制約は、6x＋3y≦360で、整理すると2x＋y≦120です。
菓子Lの制約は、2x＋4y≦240で、整理するとx＋2y≦120です。
利益は、600x＋400yです。
2つの制約の境界線の交点を求めると、2x＋y＝120とx＋2y＝120から、x＝40、y＝40です。
交点の利益は、600×40＋400×40＝24,000＋16,000＝40,000円です。
x＝60、y＝0のときの利益は、600×60＝36,000円です。
x＝0、y＝60のときの利益は、400×60＝24,000円です。
最大の利益は、x＝40、y＝40のときの40,000円です。
【選択肢別解説】
1：× 24,000円は、商品Nだけを60個作った場合の利益です。
最大ではありません。
2：× 36,000円は、商品Mだけを60個作った場合の利益です。
このとき菓子Lが120個余るので、最大ではありません。
3：○ 商品MとNを40個ずつ作ると、菓子Kを360個、菓子Lを240個すべて使い切り、利益は40,000円で最大になります。
4：× 48,000円を得るには、製造能力を超える数の菓子が必要です。
制約条件を満たせません。
【ポイント】
線形計画法では、利益が最大になるのは制約条件で囲まれた領域の頂点のどこかです。
各頂点の利益を計算して比べるのが確実な解き方です。