製品X及びYを生産するために2種類の原料A，Bが必要である。
製品1個の生産に必要となる原料の量と調達可能量は表に示すとおりである。
製品XとYの1個当たりの販売利益が，それぞれ100円，150円であるとき，最大利益は何円か。
［表］原料｜製品Xの1個当たりの必要量｜製品Yの1個当たりの必要量｜調達可能量／A｜2｜1｜100／B｜1｜2｜80
正答3
解説
正解は3です。
原料の制約の中で利益を最大にする生産量を求める、線形計画法の問題です。
製品Xの生産量をx個、製品Yの生産量をy個として、制約条件と利益の式を立てます。
【計算】
原料Aの制約は、2x+y≦100です。
原料Bの制約は、x+2y≦80です。
利益は、100x+150y円です。
利益が最大になるのは、制約の境界線の交点（頂点）のいずれかです。
2つの境界線2x+y=100とx+2y=80の交点を求めます。
1つ目の式を2倍した4x+2y=200から2つ目の式を引くと、3x=120となり、x=40です。
これを2x+y=100に代入すると、y=20です。
交点（40,20）での利益は、100×40+150×20=4,000+3,000=7,000円です。
Xだけを作る頂点（50,0）では、100×50=5,000円です。
Yだけを作る頂点（0,40）では、150×40=6,000円です。
最大は交点の7,000円です。
【選択肢別解説】
1：× 5,000円は、製品Xだけを原料Aの限度の50個作ったときの利益です。
2：× 6,000円は、製品Yだけを原料Bの限度の40個作ったときの利益です。
3：○ 原料A、Bをどちらも使い切るx=40、y=20のときの7,000円が最大利益です。
4：× 8,000円になる生産量は、原料A、Bの制約を同時には満たせません。
実行可能領域の頂点での利益の最大が7,000円なので、それを超える利益は実現できません。
【ポイント】
線形計画法では、利益が最大になるのは実行可能領域の頂点のどれかです。
頂点を全て求めて利益を比べるのが、確実な解き方です。