a及びbを定数とする関数f(t)=a/(t+1)及びg(t)=b/(t^2-t)に対して，lim_{t→∞} g(t)/f(t) はどれか。
ここで，a≠0，b≠0，t＞1とする。
正答1
解説
正解は1です。
tを限りなく大きくしたときの極限は、分子と分母のどちらのtの次数が高いかで決まります。
g(t)/f(t)を整理して、分母と分子の次数を比べます。
【計算】
g(t)/f(t)={b/(t²−t)}÷{a/(t+1)}と書けます。
これは{b(t+1)}/{a(t²−t)}に等しくなります。
分子はtの1次式、分母はtの2次式です。
分子と分母をt²で割ると、{b(1/t+1/t²)}/{a(1−1/t)}になります。
tを限りなく大きくすると、分子は0に、分母はaに近づきます。
よって、極限値は0です。
【選択肢別解説】
1：○ 分母の次数（2次）が分子の次数（1次）より高いので、比は0に収束します。
2：× 1になるのは、分子と分母が同じ次数で最高次の係数も等しい場合です。
本問は次数が異なります。
3：× b/aは分子と分母が同じ次数のときに現れる形の値です。
本問では分母の方が次数が高いので0になります。
4：× ∞に発散するのは、分子の次数が分母より高い場合です。
本問はその逆です。
【ポイント】
有理式の極限は「分母の次数が高ければ0、同じなら最高次係数の比、分子が高ければ発散」と整理できます。
a≠0、b≠0の条件は、比が0や不定にならないことを保証するためのものです。