製品X及びYを生産するために2種類の原料A，Bが必要である。
製品1個の生産に必要となる原料の量と調達可能量は表に示すとおりである。
製品XとYの1個当たりの販売利益が，それぞれ100円，150円であるとき，最大利益は何円か。
原料｜製品Xの1個当たりの必要量｜製品Yの1個当たりの必要量｜調達可能量／A｜2｜1｜100／B｜1｜2｜80
正答3
解説
正解は3です。
この問題は、原料の制約の下で利益を最大にする生産量を求める線形計画法の問題です。
製品Xの生産数をx個、製品Yの生産数をy個として、原料の制約を式に表します。
利益が最大になるのは、制約で囲まれた範囲の頂点のどれかです。
【計算】
原料Aの制約は、2x＋y≦100です。
原料Bの制約は、x＋2y≦80です。
利益は、100x＋150y（円）です。
頂点(50, 0)では、利益は100×50＝5,000円です。
頂点(0, 40)では、利益は150×40＝6,000円です。
2つの制約の交点は、2x＋y＝100とx＋2y＝80を解いて求めます。
1つ目の式を2倍した4x＋2y＝200から2つ目の式を引くと、3x＝120となり、x＝40です。
これを代入すると、y＝100−80＝20です。
頂点(40, 20)では、利益は100×40＋150×20＝4,000＋3,000＝7,000円です。
よって最大利益は7,000円です。
【選択肢別解説】
1：× 5,000円は、製品Xだけを50個作った場合の利益です。
Yも組み合わせればさらに利益を増やせます。
2：× 6,000円は、製品Yだけを40個作った場合の利益です。
Xと組み合わせた方が利益は大きくなります。
3：○ 原料A、Bをともに使い切るx＝40、y＝20のとき、利益は最大の7,000円になります。
4：× 原料の制約を満たす範囲での最大値は7,000円です。
8,000円を得るには原料AかBが調達可能量を超えてしまうので、実現できません。
【ポイント】
線形計画法では、制約式で囲まれた範囲の頂点で利益を比べれば最大値が分かります。
多くの場合、原料を両方とも使い切る交点が答えになります。